Cho $\Large f(x)$ là hàm đa thức và cho hàm đa thức bậc ba $\Large g(x

Cho $\Large f(x)$ là hàm đa thức và cho hàm đa thức bậc ba $\Large g(x)=f(x+1)$ thỏa mãn $\Large (x-1){g}'(x+3)=(x+1){g}'(x+2)$. Số điểm cực trị của hàm số $\Large y=f(2x^2-4x+5)$ là

• A.

  1.

• B.

  3.

• C.

  2.

• D.

  5.

Từ $\Large (x-1){g}'(x+3)=(x+1){g}'(x+2)$ suy ra

• Thay $\Large x=1$, ta có $\Large 0=2{g}'(3)\Leftrightarrow {g}'(3)=0$.
• Thay $\Large x=-1$, ta có $\Large -2{g}'(2)=0\Leftrightarrow {g}'(2)=0$.

Do $\Large g(x)$ là đa thức bậc 3 nên ta có $\Large {g}'(x)$ là đa thức bậc 2, mà $\Large {g}'(x)=0$ có hai nghiệm $\Large x=2$, $\Large x=3$ nên ta có tích $\Large {g}'(x)=a(x-2)(x-3), a\neq 0$.

Suy ra $\Large {f}'(x+1)=a(x-2)(x-3)$. Đặt $\Large t=x+1$, ta có $\Large {f}'(t)=a(t-3)(t-4)$. Do đó $\Large {f}'(t)=0$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & t=3\\ & t=4 \end{align}\right.$

Suy ra $\Large {f}'(x)=0$ có hai nghiệm $\Large x=3$ và $\Large x=4$. Mà $\Large g(x)=f(x+1)$ là đa thức bậc 3 nên $\Large f(x)$ cũng là đa thức bậc 3, nên $\Large {f}'(x)$ có bậc 2. Do đó $\Large {f}'(x)=0$ có đúng hai nghiệm $\Large x=3$ và $\Large x=4$.

Xét hàm $\Large h(x)=f(2x^2-4x+5)$, ta có $\Large {h}'(x)=(4x-4){f}'(2x^2-4x+5)$.

Ta có $\Large {h}'(x)=0$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&4x-4=0\\ &{f}'(2x^2-4x+5)=0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x=1 (\text{bội} 3)\\ & 2x^2-4x+5=3\\ & 2x^2-4x+5=4 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x=1 \\ & x=\dfrac{2\pm \sqrt{2}}{2} \end{align}\right.$

Ta thấy $\Large {h}'(x)$ có 3 nghiệm đều là nghiệm bội lẻ, nên $\Large {h}'(x)$ đổi dấu 3 lần.

Do đó hàm $\Large h(x)$ có 3 điểm cực trị.

Chọn đáp án B