Biết rằng $\large \int_1^e\dfrac{2\ln x+1}{x(\ln x+ 1)^2}dx= a\ln 2 -\

Biết rằng $\large \int_1^e\dfrac{2\ln x+1}{x(\ln x+ 1)^2}dx= a\ln 2 -\dfrac{b}{c}$  với a, b, c là các số nguyên dương và $\large \dfrac{b}{c}$  là phân số tối giản. Tính $\large S = a+ b+ c$ 

• A. $\large S= 3$ 
• B. $\large S= 7$ 
• C. $\large S= 10$ 
• D. $\large S= 5$ 

Chọn D

Đặt $\large \ln x+ 1= t$ . Ta có: $\large \dfrac{1}{x} dx = dt$ 

Đổi cận $\large x= 1\Rightarrow t = 1;\, x = e\Rightarrow t = 2$ 

Ta có: $\large \int_1^e\dfrac{2\ln x+1}{x(\ln x+ 1)^2}dx=\int_1^2\dfrac{2(t-1)+1}{t^2}dt = \int_1^2 \left(\dfrac{2}{t}- \dfrac{1}{t^2 } \right )dt = \left.\left(2ln|t|+\dfrac{1}{t} \right )\right|^2_1= 2\ln 2- \dfrac{1}{2}$ 

Suy ra: $\large a=2;\, b=1;\, c= 2$ . Khi đó: $\large S= a+b+c = 5$